不等式知识点总结

时间：2024-05-22 13:22:40 总结我要投稿

不等式知识点总结

　　总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，它能够使头脑更加清醒，目标更加明确，不妨坐下来好好写写总结吧。那么总结要注意有什么内容呢？下面是小编为大家收集的不等式知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

不等式知识点总结

不等式知识点总结1

　　一、知识点

　　1.不等式性质

　　比较大小方法：

　　(1)作差比较法

　　(2)作商比较法

　　不等式的基本性质

　　①对称性：a > bb > a

　　②传递性: a > b, b > ca > c

　　③可加性: a > b a + c > b + c

　　④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

　　a > b, c < 0ac < bc;

　　⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

　　⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

　　⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

　　⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：

　　(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

　　(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则

　　重要结论

　　1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

　　(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

　　3.证明不等式的常用方法：

　　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

　　综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

　　分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

　　4.不等式的解法

　　(1) 不等式的有关概念

　　同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

　　同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

　　提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

　　去分母、去括号、移项、合并同类项

　　(2) 不等式ax > b的解法

　　①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

　　②当a<0时不等式的解集是{x|x

　　③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

　　(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

　　(4)绝对值不等式

　　|x|0)的解集是{x|-a

　　o o

　　-a 　 0 　 a

　　|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：

　　o o

　　-a 0 a

　　小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

　　(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

　　(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

　　(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

　　(5)分式不等式的解法

　　(6)一元高次不等式的解法

　　数轴标根法

　　把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

　　(7)含有绝对值的不等式

　　定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

　　|a| - |b|≤|a+b|

　　中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

　　|a+b|≤|a| + |b|

　　中当且仅当ab≥0等号成立

　　推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

　　推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

　　推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

　　二、常见题型专题总结：

　　专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

　　1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是(　C )

　　A、若a>b，则|a|>|b| B、若a>b，则1/a<1/b

　　C、若a>b，则a3>b3　　　　　　　D、若a>b，则a/b>1

　　2、已知a<0.-1

　　A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

　　C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

　　3、当0

　　A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

　　C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

　　4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是( B )

　　A、0a>1

　　C、0

　　5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(　A )

　　2、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( C　)

　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒负

　　C、与a、b的大小有关　　　　　 D、与n是奇数或偶数有关

　　3、设1lg2x>lg(lgx)

　　4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。

　　分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法(作差)即可。

　　(三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

　　1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

　　⑴命题甲：x>0且y>0，　　命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件

　　⑵命题甲：x>2且y>2，　　命题乙：x+y>4且xy>4　　　　　充分不必要条件

　　2、已知四个命题，其中a、b∈R

　　①a2

　　3、"a+b>2c"的一个充分条件是( C　)

　　A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c　　D、a>c且b

　　(四)范围问题

　　1、设60

　　2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范围。

　　(五)均值不等式变形问题

　　1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( D　)

　　A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

　　C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

　　2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是( A　)

　　C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

　　3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为( D　)

　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

　　4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9

　　5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：

　　(六)求函数最值

　　1、若x>4,函数

　　5、大、-6

　　2、设x、y∈R, x+y=5，则3x+3y的'最小值是(　)D

　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

　　3、下列各式中最小值等于2的是(　)D

　　A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

　　4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

　　5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

　　(七)实际问题

　　1、98(高考)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。

　　解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)

　　据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

　　由a>0,b>0可得0

　　令t=2+a，则a=t-2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18

　　当a=6时,b=3，综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

　　解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0)

　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。

　　据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

　　即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。

　　综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

　　2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126　　米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?

　　解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。

　　⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用　当且仅当x=12时等号成立，∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。

　　⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元，故总费用

　　设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

　　=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上递增，∴f(x)≥f(14)

　　∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

　　综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。

　　(八)比较法证明不等式

　　1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

　　变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b2

　　2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

　　(九)综合法证明不等式

　　1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：

　　2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

　　3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证：

　　4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证：

　　(十)分析法证明不等式

　　1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

　　2、已知函数f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证：

　　3、设实数x,y满足y+x2=0,0

　　(十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

　　1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

　　2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤.

　　3、已知a>b>c,求证：

　　4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求证：.

　　5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。

　　分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

　　∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0

　　∴f(a)≥0

　　6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求证：1/3≤y/x≤3

　　7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an + bn

　　(十二)解不等式

　　1、解不等式：

　　2、解关于x的不等式：

不等式知识点总结2

　　不等式与不等式组

　　1.定义：

　　用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

　　2.性质：

　　①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

　　②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

　　③不等式的`两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

　　3.分类：

　　①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

　　②一元一次不等式组：

　　a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

　　b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

　　4.考点：

　　①解一元一次不等式(组)

　　②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题

　　③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集

不等式知识点总结3

　　1、不等式及其解集

　　用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。

　　使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

　　能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的'集合，简称解集。

　　含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

　　2、不等式的性质

　　不等式有以下性质：

　　不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

　　不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　3、实际问题与一元一次不等式

　　解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa）的形式。

　　4、一元一次不等式组

　　把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

　　几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。

　　对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

不等式知识点总结4

　　考试内容：

　　不等式。不等式的基本性质。不等式的证明。不等式的解法。含绝对值的不等式。

　　考试要求：

　　（1）理解不等式的性质及其证明。

　　【导读】

　　不等式的性质是不等式的理论支撑，其基础性质源于数的大小比较。要注意以下几点：

　　加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算；

　　通过复习强化不等式运算的条件。如ab、才cd在什么条件下才能推出ac

　　强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系；

　　不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a—bb，a—b=0 a=b，a—b=0，a一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用；

　　对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）；

　　对于含参问题的大小比较要注意分类讨论。

　　（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

　　【导读】

　　1、在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握。

　　2、对于公式a+b 2ab，ab（a+b/2）2要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系。

　　3、在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件就是一正各项均为正；二定积或和为定值；三项等等号能否取得。若忽略了某个条件，就会出现错误。

　　（3）掌握分析法、综合法、比较法证明的简单不等式。

　　【导读】

　　1、在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程。有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证明目的。

　　2、由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在学习中，不等式的证明除常用的三种方法外，还有其他方法，比如比较大小。证明不等式的常用方法有：差、商比较法、函数性质法、分析综合法和放缩法。要能了解常见的放缩途径，如：利用增或舍、分式性质、函数单调性、有界性、基本不等式及绝对值不等式性质和数学归纳法等。有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用。

　　3、比较法有两种形式：一是作差，而是作商。用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法。它的依据是不等式的基本性质。步骤是：作差（商）变形判断。变形的目的是为了判断，若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式。若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系。

　　（4）掌握简单不等式的解法。

　　【导读】

　　1、解不等式的`过程，实质上是不等式等价转化过程。因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应该遵循的基本原则。

　　2、各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式来解，这体现了转化与化归的数学思想。

　　3、解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数有关的不等式，对字母参数的逻辑划分问题要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确。

　　（5）理解不等式∣a∣—∣b∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣

　　【导读】

　　1、解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值。常用的方法是：

　　（1）由定义分段讨论；

　　（2）利用绝对值不等式的性质；

　　（3）平方。

　　2、绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新。在考试中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要学会方法，切不可以题论题。

　　3、不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础。纵观历年试题，涉及不等式的考题大致可分为以下几大类：

　　a、不等式证明。

　　b、解不等式。

　　c、取值范围的问题。

　　d、应用题。

不等式知识点总结5

　　一、一元一次不等式的解法：

　　一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其步骤为：

　　1、去分母；

　　2、去括号；

　　3、移项；

　　4、合并同类项；

　　5、系数化为1

　　二、不等式的基本性质：

　　1、不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

　　2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

　　3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　三、不等式的解：

　　能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

　　四、不等式的解集：

　　一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

　　五、解不等式的依据不等式的基本性质：

　　性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，

　　性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，

　　性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，

　　常见考法

　　（1）考查一元一次不等式的解法；

　　（2）考查不等式的性质。

　　误区提醒

　　忽略不等号变向问题。

　　初中数学重点知识点归纳

　　有理数乘法的运算律

　　1、乘法的交换律：ab=ba；

　　2、乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

　　3、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

　　单项式

　　只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

　　注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的。

　　多项式

　　1、几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的`次数，叫做这个多项式的次数。

　　2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

　　提高数学思维的方法

　　转化思维

　　转化思维，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、清晰。

　　创新思维

　　创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，得出与众不同的解

　　要培养质疑的习惯

　　在家庭教育中，家长要经常引导孩子主动提问，学会质疑、反省，并逐步养成习惯。

　　在孩子放学回家后，让孩子回顾当天所学的知识：老师如何讲解的，同学是如何回答的？当孩子回答出来之后，接着追问：“为什么？”“你是怎样想的？”启发孩子讲出思维的过程并尽量让他自己作出评价。

　　有时，可以故意制造一些错误让孩子去发现、评价、思考。通过这样的训练，孩子会在思维上逐步形成独立见解，养成一种质疑的习惯。

不等式知识点总结6

　　一、不等式的概念

　　1、不等式

　　用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

　　2、不等式的解集

　　对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

　　对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

　　求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

　　二、不等式基本性质

　　1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

　　2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　三、一元一次不等式

　　1、一元一次不等式的概念

　　一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

　　2、一元一次不等式的解法

　　一般步骤：

　　（1）去分母；

　　（2）去括号；

　　（3）移项；

　　（4）合并同类项；

　　（5）将 x 项的系数化为 1。

　　四、一元一次不等式组

　　1、一元一次不等式组的概念

　　几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

　　几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

　　求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

　　当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

　　2、一元一次不等式组的解法

　　（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。

　　（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

　　第九章不等式与不等式组

　　一、目标与要求

　　1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

　　2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的'不同意义的过程，渗透数形结合思想;

　　3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

　　二、知识框架

　　三、重点

　　理解并掌握不等式的性质;

　　正确运用不等式的性质;

　　建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

　　寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;

　　一元一次不等式组的解集和解法。

　　四、难点

　　一元一次不等式组解集的理解;

　　弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;

　　正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

　　五、知识点、概念总结

　　1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

　　2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

　　一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

　　3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

　　4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

　　5.不等式解集的表示方法：

　　(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3

　　(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

　　6.解不等式可遵循的一些同解原理

　　(1)不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。

　　(2)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，那么不等式 F(x)< G(x)与不等式H(x)+F(x)

　　(3)如果不等式F(x)< G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)< G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

　　7.不等式的性质：

　　(1)如果x>y，那么yy;(对称性)

　　(2)如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

　　(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法则)

　　(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz

　　(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0，那么x÷z

　　(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

　　(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

　　(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)

　　8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

　　9.解一元一次不等式的一般顺序：

　　(1)去分母 (运用不等式性质2、3)

　　(2)去括号

　　(3)移项 (运用不等式性质1)

　　(4)合并同类项

　　(5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)

　　(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

　　10. 一元一次不等式与一次函数的综合运用：

　　一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。

　　11.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成

　　了一个一元一次不等式组。

　　12.解一元一次不等式组的步骤：

　　(1) 求出每个不等式的解集;

　　(2) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

　　(3) 用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

不等式知识点总结7

　　1.不等式性质比较大小方法：

　　(1)作差比较法(2)作商比较法

　　不等式的基本性质

　　①对称性：a > bb > a

　　②传递性: a > b, b > ca > c

　　③可加性: a > b a + c > b + c

　　④可积性: a > b, c > 0ac > bc

　　⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

　　⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

　　⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

　　⑧开方法则：a > b > 0

　　2.算术平均数与几何平均数定理：

　　(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

　　(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：

　　如果为实数，则重要结论

　　(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

　　(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

　　3.证明不等式的常用方法：

　　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

　　当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，

　　则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

　　综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

　　分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的.充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

　　4.不等式的解法

　　(1) 不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项

　　(2) 不等式ax > b的解法 ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}; ②当a<0时不等式的解集是{x|x

　　(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

　　(4)绝对值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：o o-a 0 a小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，

　　通常有下列三种解题思路：

　　(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

　　(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

　　(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;

　　(4)几何意义

　　(5)分式不等式的解法

　　(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

　　(7)含有绝对值的不等式定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|? |a| - |b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立? |a+b|≤|a| + |b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

不等式知识点总结8

　　1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程。注意：一般说二元一次方程有无数个解。

　　2、二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。

　　3、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。注意：一般说二元一次方程组只有解（即公共解）。

　　4、二元一次方程组的解法：

　　（1）代入消元法；

　　（2）加减消元法；

　　（3）注意：判断如何解简单是关键。

　　5、一次方程组的应用：

　　（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解

　　（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；

　　（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。

　　一元一次不等式（组）

　　1、不等式：用不等号，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。

　　2、不等式的基本性质：

　　不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的'方向不变；

　　不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

　　不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。

　　3、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

　　4、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b0或ax+b0，（a0）。

　　5、一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点。

不等式知识点总结9

　　技巧一："小题'巧做

　　在数学考试中，相对解答题，选择题被称为"小题'。建议考生做题时实行敏捷方法，通过对选项的观看，利用特别值代入法、特别方程法、排解法等，排解不行能的选项，把选择题从4选1变成2选1，提高解题的速度。

　　技巧二：把握概念、公式拿下基础分

　　在解答题中，考生要留意概念型的内容。比如，在考试中，一些考生常写错极坐标，考生平常若能牢记极坐标概念，就知道极坐标怎么写，把握这个学问点，在极坐标和平面坐标的转换中，就能立即拿分。

　　另外就是娴熟把握公式。数学解答题里，假如第一道大题考三角函数的话，三角函数的正弦定理、余弦定理、帮助角公式、诱导公式等若能熟识把握，即便题不会做，把这些公式写上去，也能得公式分。此外，在数列类考题中，把握递推公式求通项公式、前n项和公式，代入公式简洁化简变形就能得分。在立体几何考题中，有的`考生喜爱用向量法答题，必需把握面面角公式、线面角公式;在考极坐标与参数方程，把握极坐标与参数方程的转化公式就能得分，这些都属于公式分。

　　技巧三：分步骤答题"抢'计算分

　　按目前的评分细则，数学考试按步骤给分：考生写对一步给一步的分。比如，考线性回归方程，求回归系数b。假如整体计算，算错一个地方，系数b的值算错，分数就没有了。假如分步答题，先算x与y的平均数，然后算分子，再算分母，分子分母都算好，再带到式子里计算，计算每步都有分，即便算错一个地方，之前的步骤也能得分。

　　技巧四：把握常见"套路'拿分数

　　比如解三角形时求取值范围，通常有两种策略：第一种将边换成角，再利用三角函数的有界性去得分;其次种把角换成边，用均值不等式或图形的几何性质去得分。这是常见的答题技巧。这些答题技巧近期可通过训练，把握固定套路，就能拿到分数。

　　温馨提示

　　另外，提示考生，在考场上，不要由于答题挨次支配不当导致丢分。建议考生答题由易到难，假如某道考题较难，经仔细思索还没有思路，要坚决进入下一题。不少考生在考试中过于纠结解析几何和导数题，导致最终一道选做题没有时间做，但选做题的难度通常较小，这道题不做就丢失了得分机会。

　　考生答题习惯不好也会消失丢分的状况。例如，概率统计题属于应用题，答题需要有肯定的文字表述，有的考生简洁计算数据，以为做完了，或文字作答时统计用语不规范，导致被扣步骤分。还有书写问题。数学答卷给的位置空间大小适当，答题时考生要有规划，在不跳步的状况下，步骤分明，成行成列，把踩分点写明确，便利老师按步给分。

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